classe IV, marzo 2004

Un cubo ha spigolo di lunghezza a. Detti O e O' i centri di due facce opposte e A un vertice qualunque calcolare gli elementi del triangolo AOO'. Calcolare inoltre la superficie della piramide che ha base nella faccia di centro O e vertice in O' e gli angoli delle sue facce.

Naturalmente OO'=a, AO=Ö(2)a/2,
poi da AO'²= AO² + OO'² deriva AO' = Ö(6)a/2 Detta α l'ampiezza dell'angolo OAO' si ha:
tg(α) = OO'/ AO = a/(Ö(2)a/2)
ovvero:
tg(α) = OO'/ AO = Ö(2)
da cui α = arctg(Ö(2)) @ 0.955317

Le facce triangolari della piramide, triangoli isosceli, hanno lati a e Ö(6)a/2
quindi l'altezza h relativa al lato di lunghezza a, mediante il teorema di Pitagora, vale:
h = Ö(3a²/2 – (a/2)²) = Ö(5)a/2
e l'area vale a·h/2 = Ö(5)a²/4.
Così l'area totale delle facce della piramide è a² + Ö(5)a²

Detto θ l'angolo in O', da una formula per l'area
1/2·(Ö(6)a/2)²·sin(θ) = Ö(5)a²/4
si ricava
sin(θ) = Ö(5)/3
da cui
θ = sin^-1(Ö(5)/3) @ 0.841069
Naturalmente gli altri due angoli hanno ampiezza π/2 – sin^-1(Ö(5)/3)

Correzione compito in classe

classe IV, marzo 2004

Un cubo ha spigolo di lunghezza a. Detti O e O' i centri di due facce opposte e A un vertice qualunque calcolare gli elementi del triangolo AOO'. Calcolare inoltre la superficie della piramide che ha base nella faccia di centro O e vertice in O' e gli angoli delle sue facce.